Je dvojice $(\Omega, \mathbf{P})$, kde
$\Omega$ je konečná nebo konečně spočetná množina elementárních jevů
$\mathbf{P}: \Omega \rightarrow [0, 1]$
Jev je nějaká množina $A \subseteq \Omega$ elementárních jevů
Pravděpodobnost jevu $A$ je $\mathbf{P}(A) = \sum_{w \in A} \mathbf{P}(\omega)$
Pravděpodobnosti můžeme také připisovat výrokům: $\mathbf{P}[\varphi(\omega)]$ je pravděpodobnost jevu daného množinou všech elementárních jevů $\omega$, pro které platí výrok $\varphi(\omega)$.
$\Omega_6 = \{⚀,⚁,⚂,⚃,⚄,⚅\}$
$\mathbf{P}(\omega) = 1/6$ pro každé $\omega \in \{⚀,⚁,⚂,⚃,⚄,⚅\}$
Jev $J_{\text{L}}$ definovaný jako padlo liché číslo: $J_{\text{L}} = \{⚀,⚂,⚄\} \subseteq \Omega_6$ a $\mathbf{P}(J_{\text{L}}) = 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$
$\Omega_4 = \{⚀,⚁,⚂,⚃\}$
$\mathbf{P}(\omega) = 1/4$ pro každé $\omega \in \{⚀,⚁,⚂,⚃\}$
Jev $J_{\text{S}}$ definovaný jako padlo sudé číslo: $J_{\text{S}} = \{⚀,⚁\} \subseteq \Omega_4$ a $\mathbf{P}(J_{\text{S}}) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
Pro každé dva jevy $A, B$ platí $\mathbf{P}(A \cup B) = \mathbf{P}(A) + \mathbf{P}(B) - \mathbf{P}(A \cap B)$
Dva jevy $A$, $B$ nazveme nezávislé, pokud $\mathbf{P}(A \cap B) = \mathbf{P}(A) \cdot \mathbf{P}(B)$
Jevy $\overline{A} = \Omega \ A$ se nazývá jev opačný k jevu $A$
Nechť $(\Omega, \mathbf{P})$ je diskrétní pravděpodobnostní prostor.
Pak $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ je diskrétní náhodná veličina
Diskrétní náhodná veličina tedy přiřazuje každému elementárnímu jevu $\omega_i \in \Omega$ nějakou číselnou hodnotu $x_i = X(\omega_i)$ a může nabývat pouze konečný nebo spočetně nekonečný počet hodnot $\{x_1, x_2, ...\}$.
Náhodná veličina se také někdy nazývá náhodná proměnná
Nad pravděpodobnostním prostorem šestistěnné kostky lze celkem přirozeně definovat náhodnou veličinu $K$, která každému hodu kostkou přiřadí počet „teček“, které padly. Čili $K: {⚀,⚁,⚂,⚃,⚄,⚅} \rightarrow \mathbb{R}$, kde
K(⚀) = 1,
K(⚁) = 2,
K(⚂) = 3,
K(⚃) = 4,
K(⚄) = 5,
K(⚅) = 6
Střední hodnota $\mathbf{E}[X]$ náhodné veličiny $X$ je průměr všech hodnot veličiny $X$ vážený pravděpodobnostmi příslušných elementárních jevů, tedy
Tato řada musí konvergovat absolutně, jinak střední hodnotu nezavádíme.
Střední hodnota náhodné veličiny K z předchozího příkladu, čili střední hodnota počtu teček padlých na šestistěnné kostce, je
Podobně, střední hodnota náhodné veličiny $C$ definované jako počet teček padlých na čtyřstěnné kostce je
Nechť $\alpha$ a $\beta$ jsou reálná čísla a nechť $X$ a $Y$ jsou náhodné veličiny.
Potom $\mathbf{E}[\alpha X + \beta Y] = \alpha \mathbf{E}[X] + \beta \mathbf{E}[Y]$
Buď $(\Omega, \mathbf{P})$ diskrétní pravděpodobnostní prostor.
$\square$
Uvažujme házení dvěma hracími kostkami současně: šestistěnnou kostkou s 1 až 6 tečkami a čtyřstěnnou kostkou s 1 až 4 tečkami.
Tomu bude odpovídat pravděpodobnostní prostor $(\Omega, \mathbf{P})$, kde
je množina uspořádaných dvojic počtu teček na jednotlivých kostkách a $\mathbf{P}(\omega) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{24}$
Definujme opět náhodnou veličinu $K$ jako počet teček, který padne na první kostce, a náhodnou veličinu $C$ jako počet teček, který padne na druhé kostce.
V předchozích příkladech jsme spočítali, že $\mathbf{E}[K] = 3.5$ a $\mathbf{E}[C] = 2.5$.
Pomocí linearity střední hodnoty můžeme snadno spočítat střední hodnotu součtu počtu teček na obou kostkách:
V algoritmech často využíváme následující skutečnost: Čekáme-li na událost, která v každém pokusu nastává s pravděpodobností $p$, bude střední počet pokusů, než událost nastane roven $1/p$
Uvažujme sérii nezávislých pokusů, ve kterých sledujeme, zda nastal nějaký jev $J$.
Pravděpodobnost, že jev $J$ nastane, je v každém pokusu stále stejná a rovna $p$.
Definujme náhodnou veličinu $T$ jako pořadí pokusu, ve kterém jev $J$ nastal poprvé.
Pak $E[T] = 1/p$